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Antes de entender el MM como técnica aplicada a nuestro sistema/estrategias, nos tendríamos que preguntar ¿¿entiendes el orden probabilistico de tu sistema?? ¿¿Entiendes porque una menor exposición de tus operaciones inciden en mayor grado a una determinada disciplina de MM sobre otras??¿¿entiendes que la esperanza probabilistica tiene en el tiempo un factor correctivo hacia tu esperanza, donde el factor acotación tiempo será un algoritmo de esperanza positiva para tus técnicas de MM??¿¿entiendes que el criterio de kelly recoge una tendencia de resultados, pero no un desvío parcial que pueda tener un peso especifico en tu sistema??¿¿entiendes que el riesgo debe ser la constante que adapte tus estrategias de MM??ROBOCO escribió:Por cierto, ¿leyendo (y entendiendo) estos artículos voy a saber aplicar algo práctico mejor que el Fixed Ratio o un Secure Fixed Fraction ?, la respuesta es NO. Pero lo que si se va a ocurrir es que se domine la materia del Money Management y se puedan investigar y desarrollar técnicas propias sabiendo lo que se hace.
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DESCRIPCIÓN DE LOS INSTRUMENTOS ESTADÍSTICOS UTILIZADOS
El propósito de este capítulo es efectuar una breve explicación de los instrumentos estadísticos que utilizaremos, tanto el modelo de la rentabilidad como el modelo de volatilidad, en el siguiente capítulo con el objeto de la obtención del tipo de los Modelos de volatilidad condicional variable, los llamados modelos ARCH, GARCH, IGARCH, EGARCH, ARCH-M, TARCH, que mejor ajustan los datos para el comportamiento de cada uno de los índices seleccionados para el estudio, durante la última década.
III.1) Modelo de rentabilidad
Podemos definir el riesgo de mercado como la pérdida que puede producirse por un movimiento adverso de los precios de mercado y que afecta a los activos líquidos que se negocian tales como las acciones, los bonos, las divisas, las mercancías y los derivados.
Consideramos el precio de cualquier activo como la expresión de la corriente futura de liquidez descontada, que depende de variables como los beneficios futuros, los tipos de interés, los tipos de cambio, de la incertidumbre económica futura y de la frecuencia con la que aparecen algunos shocks o sorpresas que modifican la situación actual o futura.
Estas novedades son los causantes del riesgo de mercado, los cambios no anticipados por los agentes de los factores “fundamentales” que determinan el precio actual.
En el caso de una acción, su precio de mercado representaría el consenso sobre la estimación de los dividendos futuros que la empresa va a generar, actualizados por una tasa de descuento que represente su costo de oportunidad.
Para medir el riesgo de mercado de esta acción podríamos intentar investigar el comportamiento de todas esas variables que influyen en la determinación de su precio (algo muy dificultoso), o podríamos intentar una aproximación fenomenológica que consiste en considerar a los precios de mercado como la materia prima para la medición del riesgo de mercado, mediante el análisis estadístico de las series temporales de los precios de las acciones, bonos, o índices de mercado. Esta última, es la opción que elegimos.
A partir de los precios diarios (cierre de los índices) calculamos la rentabilidad diaria y modelizamos como una variable aleatoria a la volatilidad de las rentabilidades.
El problema que se plantea ahora es identificar el modelo estadístico que mejor representa el comportamiento de los precios.
Si definimos la Rentabilidad Precio como el cociente de la diferencia de precios entre el período t y el período t-1, y el precio en el período t-1 tendremos:
Y = (Pt – Pt-1 ) / Pt-1
Usaremos la rentabilidad logarítmica, que para valores pequeños de la Rentabilidad Precio resulta ser una buena aproximación de la rentabilidad real, y permite la suma de las rentabilidades.
Yt = Ln ( Pt – Pt-1 )
Supondremos que el logaritmo del precio verifica la ecuación:
Ln Pt = r0 + Ln Pt-1 + at
Donde r0 es una constante y at es una variable aleatoria normal con media cero y variancia σ2 y que se distribuye idéntica e independientemente a lo largo del tiempo.
Entonces podemos escribir la Rentabilidad logarítmica como:
Yt = r0 + at
Si aplicamos la hipótesis de que las variables aleatorias son independientes, podemos suponer que la rentabilidad de hoy no influye en la rentabilidad de mañana.
Otra forma de modelar la rentabilidad es:
Yt = r0 + r1 Yt-1 + at
Donde, en este caso, la rentabilidad de hoy, sí depende de la rentabilidad de ayer, siendo ésta forma una de las más utilizadas.
Una modificación a este modelo consiste en expresar la variable aleatoria at mediante el producto de la desviación típica y una variable aleatoria normal estándar (media nula y variancia unidad):
at = σt vt
De esta forma el modelo de la rentabilidad logarítmica queda de la siguiente forma:
Yt = r0 + r1 Yt-1 + σt vt
Dando paso los modelos de variancia no constante o heteroscedástica.
III.2) Modelos de Volatilidad
III.2.a) Justificación del uso de los procesos ARCH
Utilizaremos los modelos de volatilidad condicional variable, los llamados modelos ARCH, GARCH, IGARCH, EGARCH, ARCH-M, TARCH[1].
Estos modelos nos permiten estudiar aquellas situaciones donde la varianza condicional es cambiante. Estos son muy aplicados en análisis de índole financiero, donde el inversionista esta interesado en estimar la tasa de retorno y su volatilidad durante el periodo de tenencia, y el emisor del título esta interesado en analizar el rendimiento y volatilidad esperados durante la vida del instrumento financiero.
El principal objetivo del inversionista es pronosticar el rendimiento y riesgo del instrumento durante un periodo de corto plazo, analiza el riesgo que acepta a cambio de un rendimiento a recibir. Por su parte el emisor del titulo desea saber la posición que tiene este instrumento a lo largo de toda la vida del papel, a los efectos de conocer la posición relativa del instrumento que coloca en el mercado.
Existen dos puntos de vista contrapuestos:
La primera que piensa que estos movimientos erráticos son solo debidos al azar por lo que son modificaciones que se pueden dejar de lado, y la segunda que sostiene que estos movimientos se pueden predecir, ya que producen períodos durante las cuales las desviaciones son significativas, siendo factible obtener resultados a partir de un cuidadoso análisis de riesgo.
Por este motivo el inversionista tiene como objetivo analizar media y varianza condicional y al emisor le interesa, además, la media y varianza no condicional.
Los modelos en estudio se basan en la idea de que se modela en la media condicional y la varianza condicional simultáneamente. O sea, el investigador plantea un modelo de regresión (media condicional) y también un mecanismo que controla la evolución de los errores (varianza condicional), buscando incorporar las grandes fluctuaciones que tiene la volatilidad que se mide por la desviación estándar condicional.
Recordemos que la diferencia entre condicional y no condicional es que la expectativa condicional se refiere a una expectativa hacia el futuro sujeta a la información acumulada hasta el tiempo t. La no condicional no modifica el conjunto de información.
Supongamos que el modelo a estimar es un autorregresivo de primer orden, AR(1)
yt = r0 + r1 yt-1 + at
Donde el termino at es un proceso N(0,σ2)
1) La media no condicional (la posición de largo plazo) es:
E[yt ] = r0 / ( 1- r1 )
2) La media condicional al tiempo t (la posición de corto plazo) es:
E[yt+1|O t]= r0 + r1 yt
Donde yt forma parte del conjunto de información.
3) La varianza no condicional es constante y esta dada por:
Var[ yt ]= σ2 / (1 - r21 )
4) La varianza condicional es:
Var[ yt - E[yt-1 | O t-1] ] = σ2
Es importante tener en cuenta que la media y varianza condicionales ofrecen información relevante que no se debe desechar. La varianza condicional es más pequeña por lo que el riesgo inversor es menor:
σ 2 / (1 - r21 ) > σ2
Podremos estimar la media y variancia condicional si planteamos un modelo similar a un ARMA para que modele la evolución de la volatilidad σ2(t). Estos modelos son los ARCH (modelos auto regresivos de heterocedasticidad condicional) que fueron ideados por Robert Engle en 1982 y tienen la característica de que el término del error esta dado por:
at = σ (t).vt
σ2(t) = a0 + a 1 a2(t-1)
donde vt ˜ IID N(0,1) = NRND, y además at y vt son independientes,
a0 > 0 y 0 < a1< 1 con estas condiciones y usando E[xw]=E[x] E[w] si x, w son independientes se concluye que:
a) E[ at ] =0
b) E[ at aσ ] =0
c) La varianza no condicional de { at }es constante: E[a2t ] =a 0 / ( 1 - a 1)
d) La media condicional es cero E[ at | O t-1] = 0
e) La varianza condicional esta dada por: E[a2t|O t-1] = a 0 + a 1 a2(t-1)
El punto e) nos indica que los errores están bajo un proceso AR(1) condicional, de allí su nombre ARCH. Tomar en cuenta que la condición a0 > 0 corresponde a la mínima varianza condicional a ser observada, en tanto que la condición 0 < a1< 1 es necesaria para que sea un proceso estable, la expresión a1< 0 no es posible dado que la varianza nunca es negativa y si se hace la prueba de hipótesis a1 = 0 de aceptarse significa que no hay efecto ARCH y el proceso es de varianza condicional constante.
Lo importante es que la serie {at } es no correlacionada sin embargo los errores no son independientes ya que están relacionados por sus segundos momentos por una ecuación en diferencias.
A medida que el valor de a1 se acerque mas a uno, tendremos el análogo a una caminata al azar en la varianza y a medida que a1 se acerque a cero, el efecto ARCH tendrá poca persistencia.
Podemos extender esta clase de modelos y llegaremos a expresiones de la forma:
Siendo a 0 > 0 , a 1 = 0, a 2 = 0, ...., a q = 0
La primero ecuación se llama un ARCH(2) y la segundo una ARCH(q), con estos se incorpora al análisis los fenómenos de volatilidad variable, como son los episodios de alto nerviosismo o incertidumbre en el mercado. Estos tienen media cero y una varianza no condicional dada por:
III.2.b) Alternativas de modelización ARCH
III.2.b.1) Modelos GARCH
En el caso de los modelos GARCH (modelos generalizados de heterocedasticidad condicional), que fueron ideados por Bollerslev en 1986, se incluye en la formula para la generación de los errores a la varianza retrasada:
at = σ(t).vt
Esta ecuaciones permiten reproducir periodos de alta volatilidad con periodos tranquilos, sin embargo son modelos que requieren menos parámetros por lo que dan parsimonia y los hace preferidos. No se debe olvidar que el proceso at tiene media cero y varianza condicional.
Un modelo GARCH(1,1) esta definido como:
donde vt es un proceso de ruido blanco, con varianza uno, además at y vt son independientes,
a 0 > 0, 0< a 1 < 1, 0< ß1< 1 , . a 1 + ß 1 < 1
Entonces la expresión que le corresponde a un GARCH(p,q) es:
Aquí las restricciones para los parámetros son ahora:
La varianza no condicional esta dada por:
Los pronósticos de la varianza para adelantar s-períodos se calculan por la formula, m=max(p,q) n=min(m,s-1):
III.2.b.2) Modelos IGARCH
Se puede eliminar la condición de estacionariedad imponiendo
de esta forma se tiene un modelo IGARCH(1,1)
El modelo IGARCH(1,1) es una serie que posee una raíz unitaria en la varianza condicional.
III.2.b.3) Modelos ARCH-M
La familia (G) ARCH-M, es una clase de modelos que ha sido estudiada en profundidad ya que esta tiene la característica de que la varianza condicional aparece como un regresor en el modelo. En 1987 Engle, Lilien y Robins idearon esta clase de modelos para permitir que la media condicional dependa de la varianza condicional. Estos modelos se usan en el mercado de capitales en los llamados modelos CAPM donde el objetivo es comparar dos variables, el rendimiento del titulo y el rendimiento del mercado, ambos, respecto de la tasa libre de riesgo.
La relación entre estos dos excesos de rendimiento (del titulo y del mercado) esta dada por una constante llamada beta y es la que expresa el exceso de rendimiento de un titulo sobre el rendimiento que ofrece el mercado.
El modelo ARCH-M incorpora directamente el efecto ARCH en las variables explicativas, aunque algunas veces resulta no significativo si el rendimiento de mercado compite como otro regresor en el modelo.
Supondremos que los agentes tienen aversión al riesgo, o sea son renuentes a aceptar mayores riesgos si no hallan que el rendimiento del activo compensa el riesgo asumido. El modelo esta construido de modo que la desviación estándar (y así la varianza) es una medida del riesgo. El rendimiento esperado es una función creciente del nivel que presenta la varianza condicional.
El modelo (G) ARCH-M(p,q) simple esta dado por:
Estos modelos son ideales para evaluar el rendimiento de las acciones ya que la volatilidad debida al nerviosismo, repercute en los rendimientos del instrumento.
El test ARCH-LM consiste en mirar si hay efecto ARCH, para lo cual se conservan los residuos, denotados por ut y se corre la regresión auxiliar:
Si efectuamos la prueba-F de significación conjunta de la regresión, la hipótesis nula será igual que siempre H0: a 1 = a 2 = a 3= ...= a p =0, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico F sale grande.
Si hay un modelo ARCH-M, éste se manifiesta en una importante correlación cruzada entre la variable (el rendimiento) y la desviación estándar condicional.
La razón por la cual estos modelos han resultado importantes se comprende cuando observamos que:
1.- Se puede usar la varianza (=2) o la desviación estándar (=1) como un regresor.
2.- Los errores pueden ser un proceso MA.
3.- Pueden ir otras variables como regresores.
4.- Pueden los retrasos de la variable Y utilizarse como regresores.
III.2.b.4) Modelos EGARCH
Los modelos EGARCH nacen en 1993 cuando Engle y Ng definieron la curva de impactos asimétricos, en la cual hacen notar que en el mercado de capitales no repercuten igual las buenas noticias que las malas noticias, los movimientos a la baja en el mercado vienen con mayores volatilidades que los movimientos al alza.
Cuando el rendimiento cae por abajo de lo esperado nos lleva a un escenario donde las noticias son malas, esto viene asociado a la observación de que la volatilidad se incrementa y por otra parte cuando las noticias son buenas la volatilidad disminuye. Dentro de los modelos con varianza condicional variable hay dos familias de modelos que se utilizan para modelar esta característica: EGARCH y TARCH.
En 1990 Pagan y Schwert y en 1991 Nelson desarrollaron el modelo exponencial GARCH, denotado como EGARCH, el cual esta definido como:
Este modelo tiene la propiedad de ser un proceso que aparentemente, por su gráfica, se ve estacionario en covarianza, sin embargo, arroja pocas observaciones pero extremadamente largas, o sea su varianza sorpresivamente da saltos muy largos. El parámetro dicta la asimetría del proceso, recuerde que log(σ2)= w si y solo si σ2=exp(w) por lo que la varianza viene definida exponencialmente, de allí su nombre.
Un modelo GARCH tiene la limitación de que trata los efectos de modo simétrico debido a que utiliza los cuadrados de las innovaciones. Otra limitación son las desigualdades que tienen que cumplir los parámetros, estas restricciones eliminan el comportamiento al azar-oscilatorio que pueda presentar la varianza condicional. En cambio en un modelo EGARCH no hay restricciones en los parámetros.
Al ser una combinación lineal entre x y desviaciones sobre su valor absoluto, garantiza una respuesta asimétrica por parte de la varianza condicional ante los movimientos de x. Se considera que en los episodios de crack de los mercados, asociados con elevada volatilidad, sus estimaciones de a1 y a2 son prácticamente la unidad indicando una enorme persistencia que tiene cada shock sobre la varianza condicional.
III.2.b.5) Modelos TARCH
El segundo tipo de modelos que son capaces de producir efectos asimétricos son los llamados modelos TARCH, (Threshold Heteroskedastic Autoregresive Models) son modelos que dependen de un umbral (threshold) por medio del cual definen su reacción.
Observar con atención que si la innovación es negativa el umbral esta activo por lo que el efecto sobre la varianza condicional es mayor, por una contribución. Mientras que si la innovación es positiva el umbral esta apagado y no hay contribución a la varianza condicional. De esta forma se mide el peso que tienen las malas noticias, por lo que si d es cero no hay efecto asimétrico, este punto es vital para decidir si un modelo pertenece a esta familia puesto que se hace la estimación y se procede a realizar la prueba de hipótesis d=0 utilizando el estadístico t-student común y corriente. En resumen, el efecto que hay sobre la varianza condicional es que las buenas noticias pesan a, mientras que las malas noticias pesan (a + d).
III.2.b.6) Modelos del Componente ARCH
Este modelo parte de la varianza condicional de un GARCH(1,1):
σ2t = w + a (e2 t-1 – w) + ß (σ2t-1 – w)
Donde w es una constante para todos los valores de t. En cambio en el modelo del componente se permite que la media de la ecuación de la varianza cambie en el tiempo y se denomina qt y el modelo se transforma en:
σ2t - qt = a (e2 t-1 – qt-1) + ß (σ2t-1 – qt-1)
qt = w + (qt-1 – w) + f (e2 t-1 - σ2t-1 )
Aquí la varianza condicional σ2t todavía es volátil, pero lo particular es el reemplazo de w por qt y de esta forma se testea la presencia de una volatilidad de largo plazo cambiante en el tiempo.
En la primer ecuación se describe el componente transitorio (σ2t - qt) que converge a cero con una velocidad dada por (a + ß). En la segunda ecuación se describe el componente de largo plazo (qt) que converge a w a una velocidad dada por . Este modelo equivale a un EGARCH(2,2) con restricciones no lineales en los coeficientes